Как построить график функции

Исследование функции. Примеры

Пример 1

Имеется y=x 3: (1-x) 2 . Произвести исследование.

1. ОДЗ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
   
2. Общего вида функция (ни четная, ни нечетная), относительно точки 0 (нуль) не симметрична.
3. Знаки функции. Функция элементарная, поэтому может менять знак только в точках, где она равна 0 (нулю), или не существует.
4. Функция элементарная, поэтому непрерывная на ОДЗ: (-∞; 1) U (1; ∞).
   

Разрыв: х = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞
— Разрыв 2-го рода (бесконечный), поэтому есть вертикальная асимптота в точке 1;

х = 1
— уравнение асимптоты вертикальной.

5. y’ = x 2 (3 — x) : (1 — x) 3 ;

ОДЗ (y’): x ≠ 1;

х = 1
— точка критическая.

y’ = 0;

0; 3
— точки критические.

6. y’’ = 6x: (1 — x) 4 ;

Критические т.: 1, 0;

x =
0 — т. перегиба, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 — 2x + x 2) = ∞
— нет горизонтальной асимптоты, но может быть наклонная.

k = 1
— число;

b = 2
— число.

Следовательно, есть асимптота наклонная y = x + 2
на + ∞ и на — ∞.

Пример 2

Дано y = (x 2 + 1) : (x — 1). Произвести и
сследование. Построить график.

1. Область существования — вся числовая прямая, кроме т. x = 1
.

2. y
пересекает OY (если это возможно) в т. (0;g(0))
. Находим y(0) = -1
— т. пересечения OY.

Точки пересечения графика с OX
находим, решив уравнение y = 0
. Уравнение корней действительных не имеет, поэтому эта функция не пересекает OX
.

3. Функция непериодическая. Рассмотрим выражение

g(-x) ≠ g(x), и g(-x) ≠ -g(x)
. Это означает, что это общего вида функция (ни четная, ни нечетная).

4. Т. x = 1
разрыв имеет второго рода. Во всех остальных точках функция непрерывна.

5. Исследование функции на экстремум:

(x
2
— 2x — 1) : (x — 1)
2 = y»

и решим уравнение y» = 0.

Итак, 1 — √2, 1 + √2, 1
— точки критические или точки возможного экстремума. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.

На каждом интервале производная имеет определенный знак, который можно установить методом интервалов или вычисления значений производной в отдельных точках. На интервалах (-∞; 1 — √2
) U

(1 + √2
; ∞)
, положительная производная, значит, функция растет; если xє
(1 — √2
; 1) U
(1; 1 + √2
)
, то функция убывает, потому что на этих интервалах производная отрицательная. Через т. x 1
при переходе (движение следует слева направо) изменяет производная знак с «+» на «-«, поэтому, в этой точке есть локальный максимум, найдем

y
max = 2 — 2√2
.

При переходе через x 2
изменяет производная знак с «-» на «+», поэтому, в этой точке есть локальный минимум, причем

y mix = 2 + 2√2.

Т. x = 1
не т. экстремума.

6. 4: (x — 1) 3 = y»».

На (-∞; 1
) 0 > y»»

, следственно, на этом интервале кривая выпуклая; если xє(1
; ∞)
— кривая вогнута. В точке 1
не определена функция, поэтому эта точка не точка перегиба.

7. Из результатов пункта 4 следует, что x = 1
— асимптота вертикальная кривой.

Горизонтальные асимптоты отсутствуют.

x + 1 = y

— асимптота наклонная данной кривой. Других асимптот нет.

8. Учитывая проведенные исследования, строим график (см. рисунок выше).

Применение производной к решению прикладных задач на экстремум некоторых величин

1. Выражают данную величину через другие величины из условия задачи так, чтобы она была функцией только от одной переменной (если это возможно).
2. Определяют промежуток изменения этой переменной.
3. Проводят исследование функции на промежутке на max и min значения.

Задача.
Нужно построить площадку прямоугольной формы, использовав а метров сетки, у стены так, чтобы с одной стороны она прилегала к стене, а с остальных трех была ограждена сеткой. При каком соотношении сторон площадь такой площадки будет наибольшей?

S = xy
— функция 2 переменных.

S = x(a — 2x)
— функция 1-й переменной; x є .

S = ax — 2x 2 ; S» = a — 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8
— наибольшее значение;

S(0) =0.

Найдем другую сторону прямоугольника: у
= a: 2.

Соотношение сторон: y: x = 2.

Ответ.
Наибольшая площадь будет равна a 2 /8
, если сторона, которая параллельна стене, в 2 раза больше другой стороны.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты
изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) — k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной
.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) — k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Непрерывность

Сейчас мы с вами будем исследовать функцию на разрыв. В математике термин «непрерывность» появился в результате изучения законов движения. Что является бесконечным? Пространство, время, некоторые зависимости (примером может служить зависимость переменных S и t в задачах на движение), температура нагреваемого объекта (воды, сковороды, термометра и так далее), непрерывная линия (то есть та, которую можно нарисовать, не отрывая от листа карандаш).

Непрерывным считается график, который не разрывается в некоторой точке. Одним из самых наглядных примеров такого графика является синусоида, которую вы можете увидеть на картинке в данном разделе. Функция непрерывна в некоторой точке х0, если соблюден ряд условий:

• в данной точке определена функция;
• правый и левый предел в точке равны;
• предел равен значению функции в точке х0.

При несоблюдении хотя бы одного условия говорят, что функция терпит разрыв. А точки, в которых разрывается функция, принято называть точками разрыва. Примером функции, которая при графическом отображении будет «разрываться», может служить: у=(х+4)/(х-3). При этом у не существует в точке х=3 (так как на нуль делить нельзя).

В функции, которую исследуем мы (у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) оказалось все просто, так как график будет являться непрерывным.

6 лучших сервисов для построения графиков функций онлайн

К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ=α, φ=β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ∈α; β функциями r=p1(φ) и r=p2(φ), причем p1(φ)≤p2(φ) для любого угла φ=φ∈α; β.

Находим площадь фигуры по формуле S(G)=12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ.

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G2 и G1.

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S(G)=S(G2)-S(G1)=12∫αβp22(φ)dφ-12∫αβp12(φ)dφ==12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Пример 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ=, φ=π3, r=32, r=12φв полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Очевидно, что r=32 больше r=12φ для любого φ∈; π3. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S(G)=12∫π3322-12φ2dφ=12∫π394-2-2φdφ==12·94φ+12·2-2φln 2π3=12·94φ+1ln 2·122φ+1π3==12·94·π3+1ln 2·122·π3+1-94·+1ln 2·122·+1==12·3π4+2-2π3-12·ln 2

Ответ: S(G)=12·3π4+2-2π3-12·ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Пример 7

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y=13x, x=3x, окружностями (x-2)2+(y-3)2=13, (x-4)2+(y-3)2=25.

Решение

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x=r·cosφy=r·sinφ⇒y=13x⇔r·sinφ=r·cosφ3⇔tgφ=13⇔φ=π6+πky=3x⇔r·sinφ=3·r·cosφ⇔tgφ=3⇔φ=π3+πk(x-2)2+(y-3)2=13⇔x2+y2=4x+6y⇔r=4cosφ+6sinφ(x-4)2+(y-3)2=25⇔x2+y2=8x+6y⇔r=8cosφ+6sinφ

Функция r=8cosφ+6sinφ больше r=4cosφ+6sinφ для любого φ∈π6; π3. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S(G)=12∫π6π38cosφ+6sinφ2-4cosφ+6sinφ2dφ==12∫π6π3(48cos2φ+48cosφ·sinφ)dφ==24∫π6π3cos2φdφ+24∫π6π3cosφ·sinφdφ==12∫π6π3(1+cos2φ)dφ+24∫π6π3sinφd(sinφ)==12·φ+12sin(2φ)π6π3+12·sin2φπ6π3==12·π3+12sin2π3-π6+12sin2π6+12·sin2π3-sin2π6==12·π6+12·322-122=2π+6

Ответ: S(G)=2π+6

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

AceIT Grapher

AceIT Grapher

Первым в списке значится весьма неплохой продукт, который позволяет строить как двумерные, так и трехмерные графики в соответствии с математическими функциями. Программа является совершенно бесплатной и скачать ее можно с официального сайта разработчика.

В данном продукте имеется инструмент для автоматизированного исследования функции, что весьма удобно. Также утилита обладает весьма продуманным интерфейсом, что позволяет без труда с ней работать. А вот русского языка, к сожалению, нет.

ПЛЮСЫ:

• Построение как двумерных, так и трехмерных графиков
• Есть инструмент для автоматизированного исследования функций
• Весьма неплохо организованный интерфейс
• Отображение внешнего вида функций на плоскости

МИНУСЫ:

Нет русского языка

LibreOffice Calc

LibreOffice Calc

Еще один свободный продукт, который входит в состав офисного пакета. Но на этот раз LibreOffice. Данное приложение очень похоже на предыдущее. С той лишь разницей, что способно создавать также трехмерные модели графиков.

Но все равно, данный продукт создан для вычислений. А построение графиков – всего лишь «побочный эффект». И тем не менее, многие используют утилиту из-за понятного интерфейса и присутствия русского языка.

ПЛЮСЫ:

• Построение 2D и 3D моделей графиков
• Работа практически со всеми математическими функциями
• Предельно простой интерфейс
• Есть русский язык

МИНУСЫ:

Скудный функционал

Асимптоты

Начнем с определения. Асимптота — это кривая, которая максимально приближена к графику, то есть расстояние от некоторой точки стремится к нулю. Всего выделяют три вида асимптот:

• вертикальные, то есть параллельные оси у;
• горизонтальные, то есть параллельные оси х;
• наклонные.

Что касается первого вида, то данные прямые стоит искать в некоторых точках:

• разрыв;
• концы области определения.

В нашем случае функция непрерывна, а область определения равна R. Следовательно, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальная асимптота есть у графика функции, который отвечает следующему требованию: если х стремится к бесконечности или минус бесконечности, а предел равен некоторому числу (например, а). В данном случае у=а — это и есть горизонтальная асимптота. В исследуемой нами функции горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота существует только в том случае, если соблюдены два условия:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тогда ее можно найти по формуле: у=kx+b. Опять же, в нашем случае наклонных асимптот нет.

Полярная система координат

На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. Это связано с тем, что сложность уравнений кривых зависит от системы координат, в которой они представляются. Поэтому при удачном выборе системы координат можно существенно упростить решение той или иной задачи.

Полярная система координат вводится следующим образом. На плоскости вибираем некоторую точку $O$, которая называется полюсом. Из этой точки проводим луч $Ox$, который называется полярной осью. Выбираем линейный масштаб для измерения длин отрезков. Для измерения углов выбираем или градусную, или радианную меру.

Положение точки $M$ на плоскости определяют два числа: число $\rho $ — расстояние точки $M$ от полюса (полярный радиус $OM$), а также число $\phi $ — угол, образованный полярным радиусом с полярной осью (полярный угол). Положительным направлением отсчета угла $\phi $ считается направление против часовой стрелки.

Числа $\rho $ и $\phi $ называются полярными координатами точки $M\left(\rho ,\; \phi \right)$. При этом полярный радиус $\rho \ge 0$, а полярный угол $0\le \phi

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Между полярными и декартовыми прямоугольными координатами точки $M$ можно установить связь. Для этого нужно совместить полюс и полярную ось с началом и положительным направлением оси $Ox$ прямоугольной системы координат.

Из треугольника $OMM_{1} $ получаем следующие формулы связи:

1. для заданных полярных координат $\rho $ и $\phi $ декартовы координаты $x$ и $y$ вычисляются по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $;
2. для заданных декартовых координат $x$ и $y$ полярные координаты $\rho $ и $\phi $ вычисляются по формулам $\rho =\sqrt{x^{2} +y^{2} } $ и $\phi =Arctg\frac{y}{x} $.

Обратная тригонометрическая функция $\phi =Arctg\frac{y}{x} $ многозначна, поэтому при практических вычислениях пользуются главным значением $ — \frac{\pi }{2}

Общая формула имеет вид:

Некоторые важнейшие кривые

1. Циссоида. Уравнения: $y^{2} =\frac{x^{3} }{a-x} $ — в декартовых прямоугольных координатах; $\rho =\frac{a\cdot \sin ^{2} \phi }{\cos \phi } $ — в полярных координатах.
2. Строфоида. Уравнения: $y^{2} =x^{2} \cdot \frac{a+x}{a-x} $ — в декартовых прямоугольных координатах; $\rho =-a\cdot \frac{\cos \left(2\cdot \phi \right)}{\cos \phi } $ — в полярных координатах.
3. Кардиоида. Уравнения: $\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} -2\cdot a\cdot x\cdot \left(x^{2} +y^{2} \right)=a^{2} \cdot y^{2} $ — в декартовых прямоугольных координатах; $\rho =a\cdot \left(1+\cos \phi \right)$ — в полярных координатах.
4. Лемниската. Уравнения: $\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} -2\cdot a^{2} \cdot \left(x^{2} -y^{2} \right)=0$ — в декартовых прямоугольных координатах; $\rho =a\cdot \sqrt{2\cdot \cos \left(2\cdot \phi \right)} $ — в полярных координатах.

При построении графиков в полярных координатах с помощью средств MS Excel имеются некоторые особенности.

График в MS Excel может быть построен, если функция однозначна и задана в декартовой прямоугольной системе координат.

Для построения графика циссоиды $y^{2} =\frac{x^{3} }{a-x} $ следует использовать уравнения $y=+\sqrt{\frac{x^{3} }{a-x} } $ и $y=-\sqrt{\frac{x^{3} }{a-x} } $.

При построении графика строфоиды поступаем аналогично.

Для построения графиков кардиоиды и лемнискаты такой прием не подходит, так как разрешить их уравнения в декартовой прямоугольной системе координат относительно $y$ невозможно.

Поэтому рекомендуется использовать уравнения этих кривых в полярных координатах по следующей схеме: задать значение угла $\phi $ в градусах (так удобнее), перевести это значение в радианы, в соответствии с уравнением кривой вычислить значение $\rho $, вычислить декартовы координаты $x$ и $y$ по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $. Теперь можно строить график обычным образом.

Построение графиков функций в полярной системе координат — МегаЛекции

Рисунок 19

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью.

Положение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки M до полюса и углом j (полярным углом) между полярной осью и вектором . (рисунок 19).

Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки M , что записывается в виде M(r,j). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

— в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

— в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат r и j можно перевести в Декартовы координаты x и y по следующим фомулам:

Обратно, полярный радиус r можно найти, зная декартовы координаты x и y , по теореме Пифагора (см. Рис. ??):

,

а полярный угол j в диапазоне [0, 2p), находится при помощи обратной (к тангенсу) тригонометрической функции арктангенс:

Пример № 2. Построить график функции r(j) = 2.

1. Задаём значения j в градусах в диапазоне с шагом в 5 градусов с использованием автозаполнения (см. Приложение 1).

2. Перевести j из градусов в радианы с использованием функции РАДИАНЫ (см. Приложение 2).

3. Рассчитать значения r(j_рад).

4. По значениям j_рад и r(j_рад) рассчитать декартовы координаты x и y.

5. По рассчитанным значениям x и y построить график, выбрав тип диаграммы Точечная.

Рисунок 20. Результаты расчёта

Рисунок 21. График функции r(j) = 2

Задание № 4

С помощью пакета Microsoft Excel построить график функций, приведенные в Приложении 5 соответственно варианту. Порядок расчета и результат оформить в виде отчета, содержащего следующие пункты:

a. Первый лист: Титульный лист – пример оформления см в приложении 6,

b. Привести текст задания,

c. Привести расчётные формулы и результаты расчёта,

d. График построенной функции,

e. Указать полярные координаты точки графика, заданной преподавателем.

Построение графиков функций с использованием логарифмической шкалы.

логарифмической,

Рисунок 22

Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин.

Пример № 3. Построить график функции . в диапазоне значений и определить по графику значение функции для х = -3.6 и х = 4.

1. Задаём значения х в диапазоне с шагом 0.5 с использованием автозаполнения (см. Приложение 1).

2. По заданным х рассчитываем значения функции у.

3. Строим график функции, используя тип диаграммы «точечная» и замечаем, например,что значение функции при отрицательных х очень близко к 0, так что определить его из графика не представляется возможным

Рисунок 23

4. Выделяем ось у.

5. Делаем щелчок правой кнопкой мыши и в раскрывшемся контекстном меню выбираем «формат оси» (см. рисунок 12)

6. В окне «формат оси» помечаем галочкой логарифмическую шкалу.

7. Добавить основные и промежуточные линии сетки.

Результаты представлены на Рисунке 24

Рисунок 24

Из рисунка определяем, что для х = -3.6 значение примерно равно 0.02, а для х = 4 .

6.1.Задание № 5.Построить график функций в диапазоне значений с шагом 0.5 . Уметь из графика определять значение функции для указанного (преподавателем) аргумента. Порядок расчета и результат оформить в виде отчета, содержащего следующие пункты:

a. Первый лист: Титульный лист – пример оформления см в приложении 6,

b. Привести текст задания,

c. Привести графики без использования логарифмической шкалы,

d. Привести графики с использованием логарифмической шкалы,

e. Сравнить результаты.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Onlinecharts.ru

Онлайн-помощник Onlinecharts.ru строит не графики, а диаграммы практически всех существующих видов. В том числе:

• Линейные.
• Столбчатые.
• Круговые.
• С областями.
• Радиальные.
• XY-графики.
• Пузырьковые.
• Точечные.
• Полярные бульки.
• Пирамиды.
• Спидометры.
• Столбчато-линейные.

Пользоваться ресурсом очень просто. Внешний вид диаграммы (цвет фона, сетки, линий, указателей, форма углов, шрифты, прозрачность, спецэффекты и т. д.) полностью определяется пользователем. Данные для построения можно ввести как вручную, так и импортировать из таблицы CSV-файла, хранимого на компьютере. Готовый результат доступен для скачивания на ПК в виде картинки, PDF-, CSV- или SVG-файлов, а также для сохранения онлайн на фотохостинге ImageShack.Us или в личном кабинете Onlinecharts.ru. Первый вариант могут использовать все, второй — только зарегистрированные.

Как построить график функции онлайн на этом сайте?

Чтобы построить график функции онлайн, нужно просто ввести свою функцию в специальное поле и кликнуть куда-нибудь вне его. После этого график введенной функции нарисуется автоматически. Допустим, вам требуется построить классический график функции «икс в квадрате». Соответственно, нужно ввести в поле «x^2».

Если вам нужно построить график нескольких функций одновременно, то нажмите на синюю кнопку «Добавить еще». После этого откроется еще одно поле, в которое надо будет вписать вторую функцию. Ее график также будет построен автоматически.

Цвет линий графика вы можете настроить с помощью нажатия на квадратик, расположенный справа от поля ввода функции. Остальные настройки находятся прямо над областью графика. С их помощью вы можете установить цвет фона, наличие и цвет сетки, наличие и цвет осей, наличие рисок, а также наличие и цвет нумерации отрезков графика. Если необходимо, вы можете масштабировать график функции с помощью колесика мыши или специальных иконок в правом нижнем углу области рисунка.

После построения графика и внесения необходимых изменений в настройки, вы можете скачать график с помощью большой зеленой кнопки «Скачать» в самом низу. Вам будет предложено сохранить график функции в виде картинки формата PNG.

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r=αφ, α>, а вторая первым витком логарифмической спирали r=αφ, α>1.

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S(G)=12∫2π(αφ)2dϕ=α22∫2πφ2dφ=α22·φ332π=4α3π33

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S(G)=12∫2π(αϕ)2dϕ=12∫2πa2φdφ=14ln a·a2φ2π==14ln a·a4π-1

Связанный график: повышение эффективности работы с Word

Способ будет полезен при необходимости часто менять исходные данные. Пошаговая инструкция:

1. Открыть таблицу Excel с нужными данными.

2. Выделить необходимые ячейки, из которых будет построен график.

3. Выбрать раздел «Вставка» и найти вкладку «Диаграмма».

4. Во вкладке «Диаграмма» найти значок «График», кликнуть по нему левым щелчком мышки.

5. Выделить созданный график. Достаточно щелкнуть по его границе.

6. На вкладке «Главная» нажать «Буфер обмена».

7. Вырезать график.

8. Вставить его в нужном месте текстового файла Word, щелкнув в «Буфере обмена» по иконке «Вставить», и выбрав подходящий параметр вставки.

Подобный метод значительно упрощает работу с графическими данными. Буфер обмена позволяет сохранять нужные элементы и мгновенно перемещать их из одного текстового файла в другой. Помимо этого, создавать визуальные элементы в текстовом документе можно напрямую из табличного редактора Excel.

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r=2a(1+cosφ). В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2π. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число,  а верхним, то, которое на 2π больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=2a(1+cosφ), для φ∈; 2π:

S(G)=12∫2π(2a(1+cosφ))2dφ=2a2∫2π(1+2cosφ+cos2φ)dφ==2a2∫2π1+2cosφ+1+cos2φ2dφ==2a2∫2π32+2cosφ+cos(2φ)2dφ==2a232φ+2sin φ+14sin2φ2π=6π·a2

Возрастание и убывание функции

Для того чтобы исследовать и построить функцию, нам необходимо узнать, где график будет возрастать (идти вверх по Оу), а где будет падать (ползти вниз по оси ординат).

Функция возрастает только в том случае, если большему значению переменной х соответствует большее значение у. То есть х2 больше х1, а f(х2) больше f(x1). И совершенно обратное явление мы наблюдаем у убывающей функции (чем больше х, тем меньше у). Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо найти следующее:

• область определения (у нас уже есть);
• производную (в нашем случае: 1/3(3х^2-28х+49);
• решить уравнение 1/3(3х^2-28х+49)=0.

После вычислений мы получаем результат:

Получаем: функция возрастает на промежутках от минуса бесконечности до 7/3 и от 7 до бесконечности, а убывает на промежутке от 7/3 до 7.