Полное исследование функции и построение графика

Исследование на выпуклость

Функцию называют выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале (а, b)
тогда, когда график функции располагается не выше секущей на промежутке для любых x с (а, b)
, которая проходит чрез эти точки.

Функция будет выпуклой строго вниз на (а, b)
, если — график лежит ниже секущей на промежутке.

Функцию называют выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке (а, b)
, если для любых точек
с (а, b)
график функции на промежутке лежит не ниже секущей, проходящей через абсциссы в этих точках.

Функция будет строго выпуклой вверх на (а, b
), если — график на промежутке лежит выше секущей.

Если функция в некотором округе точки непрерывна и через т. x 0
при переходе функция изменяет выпуклость то эта точка именуется точкой перегиба функции.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f'(x)≥ и f'(x)≤ соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки  — это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при  имеющихся промежутках возрастания  и убывания неравенства вида  f'(x)> критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y=x3, где точка х= делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y’=13·x23, y'()=1=∞, х= включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти:

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а — является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения  f'(x)=x2′(4×2-1)-x24x2-1′(4×2-1)2=-2x(4×2-1)2.

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х=;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x=±12.

Выставляем точки на числовой оси для определения производной   на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем +, что означает возрастание функции, а — означает ее убывание.

Например, f'(-1)=-2·(-1)4-12-12=29>, значит, первый интервал слева имеет знак +. Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке -∞; -12 и (-12; ;
• происходит убывание на промежутке ; 12) и 12; +∞. 

На схеме при помощи + и — изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки  экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Если рассмотреть пример, где х=, тогда значение функции в ней равняется f()=24·2-1=.  При перемене знака производной с + на — и прохождении через точку х=, тогда точка с координатами (; ) считается точкой максимума. При перемене знака с — на + получаем точку минимума.

Приложения преобразования Лапласа (операционного исчисления)

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами(1)

(ао, а1, а2 — действительные числа) и требуется найти решение уравнения (1) для t > 0, удовлетворяющее начальным условиям

Будем считать, что f(t) есть функция-оригинал. Тогда x(t) — также функция-оригинал. Пусть

f(t) = F(p), x(t) = X(p).

По теореме о дифференцировании оригинала имеем

Перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям. Имеем

Это уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно изображения Х(р) искомой функции. Его называют операторным уравнением. Решая его, найдем операторное решение задачи (1)-(2) —

Оригинал для Х(р) будет искомым решением х(t) задачи (1)-(2).

Общий случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами от случая п = 2 принципиально ничем не отличается.

Приведем общую схему решения задачи Коши

Здесь означает применение к 1 преобразование Лапласа, — применение к III обратного преобразования Лапласа.

Пример:

Решить задачу Коши

Здесь

Операторное уравнение

Откуда

По теореме о дифференцировании изображения

Поэтому

Формула Дюамеля

В приложениях операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений часто пользуются следствием из теоремы умножения, известным под названием формулы Дюамеля.

Пусть f(t) и φt) — функции-оригиналы, причем функция f(t) непрерывна на [0, + ∞), a φ(t) — непрерывно дифференцируема на [0,+ ∞). Тогда если f(t) = F(p), φ{t) = Ф(р),то по теореме умножения получаем, что

Нетрудно проверить, что функция ψ(t) непрерывно дифференцируема на [0, + ∞), причем

Отсюда, в силу правила дифференцирования оригиналов, учитывая, что ψ(0) = 0, получаем формулу Дюамеля (4)

Покажем применение этой формулы.

Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами

при нулевых начальных условиях

(последнее ограничение несущественно: задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями заменой искомой функции).

Если известно решение x(t) дифференциального уравнения с той же левой частью и правой частью, равной единице,

L = l (7)

при нулевых начальных условиях

то формула Дюамеля (4) позволяет сразу получить решение исходной задачи (5)-(6).

В самом деле, операторные уравнения, отвечающие задачам (5)-(6) и (7)-(8), имеют соответственно вид

где F(p) — изображение функции f(t). Из (9) и (10) легко находи

Отсюда по формуле Дюамеля

или, поскольку x1(0) = 0, (11)

Пример:

Решить задачу Коши

Рассмотрим вспомогательную задачу

Применяя операционный метод, находим

По формуле (11) получаем решение x(t) исходной задачи:

Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Интегрирование систем осуществляется так же, как и решение одного линейного дифференциального уравнения — путем перехода от системы дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений. Решая последнюю как систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, получаем операторное решение системы. Оригинал для негобудетрешением исходной системы дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти решение линейной системы

удовлетворяющее начальным условиям х(0) = у(0) = I.

Пусть х(<) = Х(р), y(t) = Y(p). Пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа и теоремой о дифференцировании оригиналов, сводим исходную задачу Коши к операторной системе

Решая последнюю относительно Х(р) и У(р), получаем

Решение исходной задачи Коши

Решение интегральных уравнений

Напомним, что интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь уравнение вида (12)

называемое линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K(t — т), зависящим от разности аргументов (уравнение типа свертки). Здесь φ(t) — искомая функция, f(t) и K(t) — заданные функции.

Пусть f(t) и K(t) есть функции-оригиналы, f(t) =’ F(p), K(t) =’ K(p).

Применяя к обеим частям (12) преобразование Лапласа и, пользуясь теоремой умножения, получим(13)

где Ф(р) = φ(t). Из (13)

Оригинал для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (12).

Пример:

Решить интегральное уравнение

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14), получим

откуда

Функция является решением уравнения (14) (подстановка в уравнение (14) обращает последнее в тождество по t).

Замечание:

Преобразование Лапласа может быть использовано также при решении некоторых задач для уравнений математической физики.

Применение теорем разложения

Первая теорема разложения

Пусть $F(p)$ — аналитическая в окрестности $z=\infty$ функция и в этой окрестности раскладывается в ряд Лорана:
\begin{equation*}
F(p)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{p^k}.
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation*}
F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{(k-1)!}t^{k-1}.
\end{equation*}

Вторая теорема разложения

Пусть $F(p)$ — дробно-рациональная функция и $p_1, \ldots p_n$ — ее полюсы (простые или кратные).
Тогда
\begin{equation*}
F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}\mbox{res}\left(F(p_k)e^{p_kt}\right).
\end{equation*}

Пример 5.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
\begin{equation*}
F(p)=\displaystyle\frac{p}{(p+1)(p+2)(p+3)(p+4)}
\end{equation*}
Обозначим
$$H(p)=F(p)e^{pt}.$$
Все особые точки $H(p)$ — простые полюсы:
$$p_1=-1,\,\, p_2=-2,\,\, p_3=-3,\,\, p_4=-4.$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\mbox{res}\left(H(p_1)\right)&=-\frac16e^{-t}, \\
\mbox{res}\left(H(p_2)\right)&=e^{-2t}, \\
\mbox{res}\left(H(p_3)\right)&=-\frac32e^{-3t}, \\
\mbox{res}\left(H(p_4)\right)&=\frac23e^{-4t}.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда по получаем:
\begin{equation*}
f(t)=-\frac16e^{-t}+e^{-2t}-\frac32e^{-3t}+\frac23e^{-4t}.
\end{equation*}

Пример 6.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
\begin{equation*}
F(p)=\displaystyle\frac{1}{(p-a)(p-b)^2}
\end{equation*}
По :
\begin{equation*}
f(t)=\frac{te^{bt}}{b-a}-\frac{e^{bt}}{(b-a)^2}+\frac{e^{at}}{(b-a)^2}.
\end{equation*}

Пример 7.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
\begin{equation*}
F(p)=\displaystyle\frac{p^3}{(p^2+1)^2}
\end{equation*}
Обозначим
$$H(p)=F(p)e^{pt}.$$
Особые точки $H(p)$ — полюсы второго порядка:
$$p_1=i,\,\, p_2=-i.$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\mbox{res}\left(H(p_1\right))&=\frac{e^{it}(2+it)}{4}, \\
\mbox{res}\left(H(p_2\right))&=\frac{e^{-it}(2-it)}{4}.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда по :
\begin{equation*}
f(t)=\frac14\left(2e^{it}+2e^{-it}+i\,te^{it}-i\,te^{-it}\right)=\mbox{cos}\,t-\frac12\,t\,\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}

Пример 8.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

\begin{equation*}
F(p)=\displaystyle\frac{p}{p^2+1}.
\end{equation*}
Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=\infty$:
\begin{equation*}
F(p)=\frac{p}{p^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{p^{2n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{p^{2n+1}}.
\end{equation*}
И по получим:
\begin{equation*}
f(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}=\mbox{cos}\,t.
\end{equation*}

Пример 9.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

\begin{equation*}
F(p)=\displaystyle\frac{1}{p^2}\mbox{cos}\displaystyle\frac{1}{p}.
\end{equation*}
Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=\infty$:
\begin{equation*}
F(p)=\frac{1}{p^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n+2}}.
\end{equation*}
По :
\begin{equation*}
f(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!(2n+1)!}t^{2n+1}.
\end{equation*}

Как работает графический калькулятор для графиков функций?

Онлайн сервис работает очень просто. В поле на самом верху вписывается функция (т.е. само уравнение, график которого необходимо построить). Сразу после ввода приложение моментально рисует график в области под этим полем. Все происходит без обновления страницы. Далее, можно внести различные цветовые настройки, а также скрыть/показать некоторые элементы графика функции. После этого, готовый график можно скачать, нажав на соответствующую кнопку в самом низу приложения. На ваш компьютер будет загружен рисунок в формате .png, который вы сможете распечатать или перенести в бумажную тетрадь.

Зачем нужно строить график функции?

На этой странице вы можете построить интерактивный график функции онлайн. Построение графика функции позволяет увидеть геометрический образ той или иной математической функции. Для того чтобы вам было удобнее строить такой график, мы создали специальное онлайн приложение. Оно абсолютно бесплатно, не требует регистрации и доступно для использования прямо в браузере без каких-либо дополнительных настроек и манипуляций. Строить графики для разнообразных функций чаще всего требуется школьникам средних и старших классов, изучающим алгебру и геометрию, а также студентам первых и вторых курсов в рамках прохождения курсов высшей математики. Как правило, данный процесс занимает много времени и требует кучу канцелярских принадлежностей, чтобы начертить оси графика на бумаге, проставить точки координат, объединить их ровной линией и т.д. С помощью данного онлайн сервиса вы сможете рассчитать и создать графическое изображение функции моментально.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины

2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x – 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x – 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x – 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x – a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x – 1

в) y = (x – 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x – 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x – 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Исследование на экстремумы

Т. x 0
именуют точкой максимума (max) на множестве А
функции g
тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наибольшее g(x 0) ≥ g(x), xєА
.

Т. x 0
именуют точкой минимума (min) функции g
на множестве А
тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наименьшее g(x 0) ≤ g(x), xєА.

На множестве А
точки максимума (max) и минимума (min) именуются точками экстремума g
. Такие экстремумы еще называют абсолютными экстремумами на множестве.

Если x 0
— экстремума точка функции g
в некотором своем округе, то x 0
именуется точкой локального или местного экстремума (max или min) функции g.

Теорема (условие необходимое).
Если x 0
— точка экстремума (локального) функции g
, то производная не существует или равна в этой т. 0 (нулю).

Определение.
Критическими именуют точки с несуществующей или равной 0 (нулю) производной. Именно данные точки подозрительны на экстремум.

Теорема (условие достаточное № 1).
Если функция g
непрерывна в некотором округе т. x 0
и знак меняет чрез эту точку при переходе производная, то данная точка есть т. экстремума g
.

Теорема (условие достаточное № 2).
Пускай функция в некотором округе точки дифференцируема дважды и g’ = 0, а g’’ > 0 (g’’ , тогда эта точкаесть точкой максимума (max) или минимума (min) функции.

Desmos

Портал Desmos.com, в отличие от многих других, может хранить ваши графики в своей базе и позволяет делиться с другими юзерами ссылками на них. Однако для этого придется зарегистрироваться на ресурсе.

Поддерживает построение следующих видов графиков:

• постоянных функций (например, y=x+2);
• зависимости x от y (x=√(2-y));
• неравенств (x≤2-y);
• кусочно-заданных функций (y={x<0: -x, x});
• в полярных координатах (r(t)=sin(6t));
• по точке и группе точек ((1,2), (2,3), (3,4));
• движения точки;
• функций с параметром (y = |x2 – 2x – 1|);
• сложных функций (y = ln cos x).

Также он может конвертировать введенные пользователем выражения в таблицы.

Интерфейс Desmos.com несколько отличается от аналогов. Большую часть окна занимает настраиваемая координатная плоскость. В ней можно включать и выключать видимость осей, изменять вид и величину шага сетки, переключаться между градусами и радианами, а также — менять масштаб плоскости и смещать центральную точку.

Слева находится скрываемая панель ввода выражений. Над ней — кнопка «гамбургер», щелчком по которой открывается список примеров различных чертежей. Рядом с кнопкой отображается имя текущего графика, но в нашем случае его нет, так как опция доступна только зарегистрированным пользователям.

Внизу окна — скрываемая виртуальная клавиатура.

Для демонстрации графиков аудитории на Desmos.com предусмотрен режим проектора (кнопка его включения скрыта в настройках координатной плоскости за иконкой гаечного ключа). В этом режиме все линии становятся толще, а надписи -крупнее.

Мы привели лишь краткое описание функциональности сервиса. Если вам нужна справка по работе с ним на русском языке, она находится здесь.

Лучшее, что есть в Desmos.com, это гибко настраиваемый интерфейс, интерактивность, возможность разносить результаты по таблицам и бесплатно хранить свои работы в базе ресурса без ограничений по времени. А недостаток — в том, что сервис не полностью переведен на русский язык.

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.Симметричное отображение графика относительно оси

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  сжать к оси  в  раз.

И первой на эшафот взойдёт функция, которой я недавно грозился:

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку  и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра, даже до полумиллиметра. Впрочем, многие с этим уже столкнулись.

Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси  в 2 раза:
То есть, график функции  получается путём сжатия графика  к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.

Пример 2

Построить график функции

«Чёрная гармошка»  сжимается к оси  в 3 раза:
Итоговый график  проведён красным цветом.
Исходный период  косинуса закономерно уменьшается в три раза:  (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  растянуть от оси  в  раз.

Продолжим мучить синус:

Пример 3

Построить график функции

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси  в 2 раза:

То есть, график функции  получается путём растяжения графика  от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Операции сжатия/растяжения графиков, разумеется, выполнимы не только для тригонометрических функций:

Пример 4

Построить графики функций

График функции  получается путём сжатия графика экспоненты  к оси  в два раза. А график  – путём растяжения графика экспоненты  от оси  в два раза:

В качестве ассоциации можете опять поиграть на «баяне» .

Продолжаем систематизировать  умножение аргумента функции на число:
Мы рассмотрели два случая – сжатие () и растяжение ().

Очевидно, что нет практического смысла рассматривать значения . Есть более интересный вопрос: что происходит, когда аргумент умножается на отрицательное число? Ответ будет получен чуть позже, а пока рассмотрим распространённый частный случай, когда :

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график  отобразить симметрично относительно оси .

Наглядный пример уже встречался на уроке Графики и свойства элементарных функций (вспоминаем ). Распечатаем ещё один комплект:

Пример 5

Построить график функции

График функции  получается путём симметричного отображения графика  относительно оси ординат:

Как видите, всё просто.

Если при умножении аргумента на число  значение параметра  отрицательно и не равно минус единице, то построение выполняется в два шага. Например: . На первом шаге выполняем сжатие графика  к оси ординат в 2 раза: . На втором шаге график  отображаем симметрично относительно оси ординат: . Конкретный пример обязательно рассмотрим ниже.

А следующий параграф посвящается одному интересному человеку из дворовой компании моего далёкого детства. Он вытягивал руки в стороны, открывал рот и прыгал влево/вправо по проезжей части. Водители крутили виском у пальца, сигналили, но догнать его так никто и не смог.

Grafikus.ru

Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

• Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
• Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
• Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
• Построение 3D-поверхностей простых функций.
• Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:
Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

Запись  обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке  функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось  является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы ,  говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить  по оси  влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция  является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида  () представляет собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения  выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

Непрерывность

Сейчас мы с вами будем исследовать функцию на разрыв. В математике термин «непрерывность» появился в результате изучения законов движения. Что является бесконечным? Пространство, время, некоторые зависимости (примером может служить зависимость переменных S и t в задачах на движение), температура нагреваемого объекта (воды, сковороды, термометра и так далее), непрерывная линия (то есть та, которую можно нарисовать, не отрывая от листа карандаш).

Непрерывным считается график, который не разрывается в некоторой точке. Одним из самых наглядных примеров такого графика является синусоида, которую вы можете увидеть на картинке в данном разделе. Функция непрерывна в некоторой точке х0, если соблюден ряд условий:

• в данной точке определена функция;
• правый и левый предел в точке равны;
• предел равен значению функции в точке х0.

При несоблюдении хотя бы одного условия говорят, что функция терпит разрыв. А точки, в которых разрывается функция, принято называть точками разрыва. Примером функции, которая при графическом отображении будет «разрываться», может служить: у=(х+4)/(х-3). При этом у не существует в точке х=3 (так как на нуль делить нельзя).

В функции, которую исследуем мы (у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) оказалось все просто, так как график будет являться непрерывным.

Umath.ru

Веб-сервис Umath.ru — не только набор онлайн-калькуляторов, но и неплохой справочник по математике. Позволяет строить 3 разновидности графиков функций:

• Заданных уравнением.
• Заданных параметрически.
• В полярной системе координат.

В отличие от предыдущего, этот веб-сайт дает возможность размещать несколько графиков на одной плоскости (они будут нарисованы разным цветом). Также он позволяет изменять масштаб и смещать положение центра координатного пространства (кнопки управления находятся слева от графика, но можно пользоваться и мышью).

Готовый результат можно скачать на компьютер в виде картинки.

Достоинства Umath.ru — простота применения (на станице есть пояснения, списки функций и констант), масштабирование, возможность оставлять комментарии, пользоваться справочником и другими математическими калькуляторами. Недостаток — ограниченный функционал (к сожалению, нет возможности строить трехмерные графики) и иногда проскакивающие ошибки. Но, надеемся, это временно, так как сервис активно развивается.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции  () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси  мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через  или . Буква  обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс»  (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).    

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае:  – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через  или .

Функция  является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо  подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция  является четной.

Функция  не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси  (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх  на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения:  – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция  – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или  принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции  () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты
изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) — k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной
.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) — k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.