6 лучших сервисов для построения графиков функций онлайн

Содержание:

В графика Они представляют собой способ отображения информации с помощью рисунка, который дает зрителю простой способ понять, что отображается. Кроме того, они очень полезны, когда вам нужно публиковать статистику, сравнивать количества и выражать тенденции, поскольку данные, которые они представляют, обычно являются числовыми.

Они обычно используются для представления функциональных отношений между числовыми переменными или когда у вас есть значительный объем статистических данных. По этой причине их можно найти как в школьной работе, так и в бизнес-презентациях и финансовых отчетах, среди прочего.

Существуют различные типы графиков, каждый из которых имеет определенные характеристики, которые помогают более точно представить данные. Однако, если они не будут правильно зафиксированы или будут сделаны ошибки при вводе данных, они могут ухудшить понимание информации.

В большинстве случаев наиболее часто используемые диаграммы состоят из двух осей и тела, как в линейных диаграммах, пиктограммах и столбчатых диаграммах. Однако можно найти и другие типы графиков, такие как блок-схемы или картограммы, в которых используются другие методы построения и представления информации.

Обычно для представления графиков используются такие ресурсы, как линии, точки, векторы, столбцы, карты и символы. Кроме того, представления могут быть построены в двух или трех измерениях, что значительно расширяет палитру ресурсов для их разработки.

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

• если k > 0, то график наклонен вправо;
• если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

• если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
• если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции: y = 2x + 3, y = 1/₂x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = -1/₂x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

• график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
• график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
• график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции. Например, график уравнения х = 3:

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ * k₂ = -1 или k₁ = -1/_k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

• С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
  Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
• С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = -b/_k.
  Координаты точки пересечения с осью OX: (-b/_k; 0)

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции  () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси  мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через  или . Буква  обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс»  (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).    

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае:  – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через  или .

Функция  является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо  подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция  является четной.

Функция  не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси  (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх  на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения:  – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция  – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или  принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции  () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

Как построить график

1. Для создания графика в программе Эксель, в первую очередь, потребуется ее основа с информацией. Другими словами, сначала необходимо создать таблицу и внести в неё все значения, на базе которых будет строиться график. Или же можно открыть файл, который содержит таблицу.
2. Переходим во вкладку «Вставка». Выделяем всю таблицу или только ту часть, которую необходимо отразить в виде графика. Нажимаем на кнопку «График».
3. На выбор будет предоставлены различные варианты графиков.
   • График. Привычные нам простые линии.
   • График с накоплением. При выборе данного варианта будет отображаться динамика изменения вклада каждого значения с течением времени или по категориям данных, которые разделены на равные интервалы.
   • Нормированный график с накоплением. Если выбрать данный вариант, будет отображаться динамика вклада каждой величины в процентах с течением времени или по категориям данных, которые разделены на равные интервалы.
   • График с маркерами (обычный, с накоплением или нормированный с накоплением). Будут отображаться конкретные значения данных на графике.
   • Объёмный график. Имеет кроме высоты и длины, еще и глубину. Кривая графика изображается в виде ленты.
   • График с областями (обычный, с накоплением, нормированный с накоплением). Сами принцип построения линий в зависимости от выбранного подвида аналогичен описанным выше вариантам. Однако, в данном случае, график представляет из себя не просто линии, а закрашенные области согласно построенными линиям.
   • Объемный график с областями (обычный, с накоплением, нормированный с накоплением). Все то же самое, что и в варианте выше, только в трехмерном исполнении.
4. Выбираем из перечисленных вариантов наиболее понравившийся или тот, что лучше всего отобразит необходимую информацию, и щелкаем по нему.
5. Об остальном позаботится Эксель, выведя результат в виде готового графика в отдельном окне, которое, к тому же, можно изменять по размерам путем растягивания или сжатия, а также, перемещать внутри листа.

Графики функций с модулем

Для качественного усвоения материала необходимо понимать, что такое модуль. Краткую информацию о нём можно найти на странице Математические формулы и таблицы в справочном материале Горячие формулы школьного курса математики.

Применение модуля тоже представляет собой геометрическое преобразование графика. Не буду создавать сверхподробный мануал, отмечу только те моменты, которые, с моей точки зрения, реально пригодятся для решения других задач по вышке.

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: при  график функции  сохраняется, а при  «сохранённая часть» отображается симметрично относительно оси .

Пример 22

Построить график функции

И снова вечная картина:
Согласно правилу, при  график сохраняется:
И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси   в левую полуплоскость:

Действительно, функция  – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на  и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:

То есть, правая волна графика  задаётся функцией , а левая волна – функцией  (см. Пример 13).

Пример 23

Построить график функции

Аналогично, ветвь «обычной» экспоненты  правой полуплоскости отображаем симметрично относительно оси  в левую полуплоскость:
Распишем функцию в кусочном виде: , то есть правая ветвь задаётся графиком функции , а левая ветвь графиком .

Модуль не имеет смысл «навешивать» на аргумент чётной функции:  и т.п. (проанализируйте, почему).

И, наконец, завершим статью весёлой нотой – применим модуль к САМОЙ ФУНКЦИИ.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: часть графика , лежащая НАД осью  сохраняется, а часть графика , лежащая ПОД осью  отображается симметрично относительно данной оси.

Странно, что широко известный график модуля «икс» оказался на 24-й позиции, но факт остаётся фактом =)

Пример 24

Построить график функции

Сначала начертим прямую, известную широкому кругу лиц:
Часть графика, которая ВЫШЕ оси , остаётся неизменной, а часть графика, которая НИЖЕ оси  – отображается симметрично в верхнюю полуплоскость:

Модуль функции также раскрывается аналитически в кусочном виде:

Внимание! Формула отличается от формулы предыдущего пункта!

В данном случае: , действительно, правый луч задаётся уравнением , а левый луч – уравнением .

Кстати,  – редкий экземпляр, когда можно считать, что модуль применён, как к аргументу: , так и  к самой функции: . Изучим более «жизненную» ситуацию:

Пример 25

Построить график функции

Сначала изобразим график линейной функции :
То, что ВЫШЕ оси абсцисс – не трогаем, а то, что НИЖЕ – отобразим симметрично относительно оси  в верхнюю полуплоскость:

Согласно формуле , распишем функцию аналитически в кусочном виде: .

Или, упрощая оба этажа: , то есть правый луч задаётся функцией , а левый луч – функцией . Сомневающиеся могут взять несколько значений «икс», выполнить подстановку и свериться с графиком.

На какие функции модуль «не действует»? Модуль бессмысленно применять к неотрицательным функциям. Например: . Экспоненциальная функция и так полностью лежит в верхней полуплоскости: .

Всё возвращается на круги своя, синусом начали, синусом и закончим. Как в старой доброй сказке:

Пример 26

Построить график функции .

Изобразим сами знаете что =)

И снова – то, что находиться в верхней полуплоскости – оставим в покое, а содержимое подвала – отобразим симметрично относительно оси :

Кстати, понятен ли вам неформальный смысл такого симметричного отображения? Модуль «съедает» у  отрицательных чисел знак и делает их положительными, именно поэтому «подвальные» точки занимают противоположные места в верхней полуплоскости.

Распишем функцию в кусочном виде:

Решив два простейших школьных неравенства , получаем:, где  – любое целое число.

Да, статья была не самой приятной, но крайне необходимой. Однако повествование завершилось и стало немножко грустно =) Чем-то напомнило мне всё это урок про метод Симпсона, который тоже создавался в марте, и тоже достаточно долгое время. Наверное, громоздкие вещи пишутся по сезону =)

Желаю успехов!

(Переход на главную страницу)

ChartGo

Англоязычный сервис для разработки многофункциональных и разноцветных гистограмм, линейных графиков, круговых диаграмм.

Для обучения пользователям представляется подробное руководство и деморолики.

ChartGo будет полезен для тех, кто нуждается в создании диаграмм регулярно. Среди подобных ресурсов отличается простотой «Create a graph online quickly».

Построение графиков онлайн осуществляется по таблице.

В начале работы необходимо выбрать одну из разновидностей диаграмм.

Приложение обеспечивает пользователям ряд простых вариантов настройки построения графиков различных функций в двумерных и трехмерных координатах.

Можно выбрать одну из разновидностей диаграмм и переключаться между 2D и 3D.

Настройки размера обеспечивают максимальный контроль между вертикальной и горизонтальной ориентацией.

Пользователи могут настраивать свои диаграммы с уникальным названием, а также присваивать названия для X и Y элементов.

Для построения графиков онлайн xyz в разделе «Example» доступно множество макетов, которые можно изменять на свое усмотрение.

Обратите внимание! В ChartGo в одной прямоугольной системе может быть построено множество графиков. При этом каждый график составлен с помощью точек и линий

Функции действительного переменного (аналитические) задаются пользователем в параметрическом виде.

Разработан и дополнительный функционал, который включает мониторинг и вывод координат на плоскости или в трехмерной системе, импорт и экспорт числовых данных в определенных форматах.

Программа имеет гибко настраиваемый интерфейс.

После создания диаграммы, пользователь может воспользоваться функцией печати результата и сохранения графика в виде статичного рисунка.

График функции F(x) = X^2

Функция X^2 – одна из самых популярных математических функций, которую разбирают еще на уроках в школе. На графике необходимо показать точки Y, что в Excel реализовывается следующим образом:

1. Создайте строку на листе в программе, вписав туда известные значения X.

2. Сделайте то же самое и с Y. Пока значения этой оси координат неизвестны. Чтобы определить их, нам нужно выполнить простые расчеты.

3. Поэтому в качестве значения для каждой ячейки укажите формулу, которая посчитает квадрат числа, указанного в строке X. Для этого впишите =A1^2, заменив номер ячейки.

4. Теперь достаточно зажать левую кнопку мыши на нижней точки готовой ячейки и растянуть таблицу, чтобы формула автоматически подставилась в остальные ячейки, и вы могли сразу ознакомиться с результатом.

5. Перейдите на вкладку вставки и выберите раздел с рекомендуемыми диаграммами.

6. В списке отыщите точечную диаграмму, которая подойдет для составления подходящего графика.

7. Вставьте ее в таблицу и ознакомьтесь с результатом. На следующем скриншоте вы видите параболу и значения X, при которых она получилась правильной (такую часто показывают в примерах на математике).

Всего 7 простых шагов потребовалось для достижения желаемого результата. Вы можете подставлять свои значения в таблицу и изменять их в любое время, следя за тем, как перестраивается график функций.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция  является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает:  или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится:

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:,  Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси  на  влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси  , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения:  – все действительные числа, кроме …  , , , … и т. д. или коротко: , где  – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция  не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически: – если мы приближаемся по оси  к значению  справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте . – если мы приближаемся по оси  к значению  слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:

Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Umath.ru

Веб-сервис Umath.ru — не только набор онлайн-калькуляторов, но и неплохой справочник по математике. Позволяет строить 3 разновидности графиков функций:

• Заданных уравнением.
• Заданных параметрически.
• В полярной системе координат.

В отличие от предыдущего, этот веб-сайт дает возможность размещать несколько графиков на одной плоскости (они будут нарисованы разным цветом). Также он позволяет изменять масштаб и смещать положение центра координатного пространства (кнопки управления находятся слева от графика, но можно пользоваться и мышью).

Готовый результат можно скачать на компьютер в виде картинки.

Достоинства Umath.ru — простота применения (на станице есть пояснения, списки функций и констант), масштабирование, возможность оставлять комментарии, пользоваться справочником и другими математическими калькуляторами. Недостаток — ограниченный функционал (к сожалению, нет возможности строить трехмерные графики) и иногда проскакивающие ошибки. Но, надеемся, это временно, так как сервис активно развивается.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f'(x)≥ и f'(x)≤ соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки  — это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при  имеющихся промежутках возрастания  и убывания неравенства вида  f'(x)> критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y=x3, где точка х= делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y’=13·x23, y'()=1=∞, х= включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти:

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а — является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения  f'(x)=x2′(4×2-1)-x24x2-1′(4×2-1)2=-2x(4×2-1)2.

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х=;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x=±12.

Выставляем точки на числовой оси для определения производной   на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем +, что означает возрастание функции, а — означает ее убывание.

Например, f'(-1)=-2·(-1)4-12-12=29>, значит, первый интервал слева имеет знак +. Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке -∞; -12 и (-12; ;
• происходит убывание на промежутке ; 12) и 12; +∞. 

На схеме при помощи + и — изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки  экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Если рассмотреть пример, где х=, тогда значение функции в ней равняется f()=24·2-1=.  При перемене знака производной с + на — и прохождении через точку х=, тогда точка с координатами (; ) считается точкой максимума. При перемене знака с — на + получаем точку минимума.